解析曲线和曲面

下图展示了三种用平面切割圆锥的方式。从左到右，切割后的截面分别是椭圆、双曲线和抛物线。

曲线

最简单的非线性曲线毫无疑问是圆。一个中心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ 的圆方程如下：

(x - a)^2 + (x - b)^2 = r^2

如果中心是原点，上述方程可简化为

x^2+y^2=r^2

上述方程被称为圆的隐式形式。圆的参数形式为

$x = r\cos(t)$
$y = r\sin(t)$

如果圆心不在原点，则圆的参数形式为

$x = a + r\cos(t)$
$y = b + r\sin(t)$

上述参数形式使用三角函数。稍后我们将讨论一个不使用三角函数的圆的参数形式。

圆锥曲线是一个平面与一个圆锥体相交的曲线。

有三种非退化圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线。椭圆和双曲线被称为中心圆锥曲线，因为它们有对称中心，而抛物线则是非中心对称的。

椭圆的隐式方程表示：

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

这个椭圆的轴是 $x$ 轴和 $y$ 轴， $a$ 和 $b$ 是轴长， $a$ 和 $b$ 中较大的是长轴，较小的是短轴。很容易看出，这种形式的椭圆具有以下参数形式：

x = acos(t)\\y = bsin(t)

双曲线的隐式方程表示：

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

主轴和次轴与椭圆的定义相同。 $x$ 轴与曲线相交于两点 $(a, 0)$ 和 $(-a, 0)$ ，而 $y$ 轴则不与曲线相交。

双曲线的参数形式如下所示：

x=a\sec(t)\\y=b\tan(t)

在标准形式下，椭圆和双曲线的中心都位于坐标原点，并且它们是中心对称和轴对称的。

抛物线的隐式方程：

x^2=4py

在这个标准形式中，对于抛物线上的任意点 $(x,y)$ ， $y$ 的值必须为正，并且这个抛物线向上开口。抛物线的标准形式已经是一个参数形式。或者，你可以将它重写为以下形式：

x = t \\y = \frac{t^2}{4p}

圆锥曲线是二次曲线，因为它们的一般形式是下面的隐式二次多项式：

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0

这个多项式有六个系数，如果将其除以非零系数，可以由六个未知数减少到五个。因此通常情况下，五个条件可以唯一确定一个圆锥曲线。

如何知道一个二次多项式的曲线类型？在这种情况下，只要二次方程表示的是一个圆锥曲线而不是两条相交或平行线，就可以通过以下方式判断：

表达式 $B^2 - A \times C$ 被称为一般二次多项式的 判别式。

圆锥曲线的一般形式也可以使用矩阵来表示。首先，将每个点 $x = (x, y)$ 视为第三分量为1的三维列向量，其转置向量为 $\mathbf{x}^T = [x, y, 1]$ 。接下来，使用通用二次多项式的六个系数构造一个 $3×3$ 对称矩阵，如下所示：

\left.\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1\end{array}\right.\right]\quad\mathbf{x}^T=[x,y,1]\quad\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{array}\right]

因此，一般形式的二次多项式可以改写成

\mathbf{x}^T\mathbf{Q}\mathbf{x}=0

二次曲面，通常包括以下不同类型：椭球体、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面。以下是它们的隐式表示及形状：

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1

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单叶双曲面（Hyperboloid of One Sheet）：
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
双叶双曲面（Hyperboloid of Two Sheets）：
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
椭圆抛物面（Elliptic Paraboloid）：
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2cz$
双曲抛物面（Hyperbolic Paraboloid）：
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2cz$